Со времен Древней Греции известно два подхода к математике.
Кто-то полагает, что математические объекты существуют в некоем абстрактном мире, а не в реальной жизни, а кто-то считают математику естественной наукой, отражающей свойства реального мира.
Эти два варианта, в формулировке известных математиков выглядят так:
- Математические выкладки имеют отношение к реальному миру, где они либо истинны, либо ложны, даже если их невозможно математически их ни доказать, ни опровергнуть. (Курт Гёдель. Известный математик начала XX века.)
- Математические теории просто вымышленные формулы, связывающие между собой взятые на вооружение данным математиком аксиомы, а вовсе не модель внешнего мира. (Пол Коэн. Известный математик XX века.)

С того же времени, с которого известна математика, существует точка зрения, согласно которой мир был создан в соответствии с математическими законами, познавая которые, люди познают и свойства реального мира.
Платон, Евклид, Аристотель, Коперник, Кеплер, Декарт, Галилей, Паскаль, и практически все физико-математики XIX - XX веков считали, что некий "творец мира" сотворил его по математическому плану.

Иногда говорят о существовании двух математик - теоретической и прикладной.

Начало систематического построения математики, в частности, её языка положили Д.Буль (1815 - 1864), Г.Ф.Л.Фреге (1848 - 1925), Г.Кантор (1845 - 1918), Д.Пеано (1858 - 1932), Э.Ф.Ф.Цермело (1871- 1953). Современная форма математической логики создана Расселом и Уайтхедом, Гильбертом и Бернайсом.

Единую систему построения математических теорий, математики в XIX попытались построить на базе интуитивной теории множеств Кантора.
Но в ней были обнаружены противоречия или, по друному парадоксы. (Например парадокс Рассела.)

Попытки решения вопроса о не канторовских основаниях математики происходили в XX веке в трёх разных направлениях, которые получили названия интуиционизма, логицизма и формализма.

Интуиционизм, как определённое направление в математике, возник в начале 20-го века, в основном благодаря трудам Л.Брауэра и А.Гейтинга. В его основе лежит номиналистическая тенденция ограничить математику только такими понятиями, которым можно придать "реальный смысл".
Для реализации этой идеи интуиционисты предложили рассматривать только такие объекты, для которых имеется потенциально осуществимая процедура их построения. Они получили название конструктивных объектов. Чтобы не выйти за рамки конструктивных объектов, интуиционистам пришлось сузить и логику, отказавшись от закона исключённого третьего. Путём сужения допустимых понятий интуиционисты рассчитывали достичь надёжной истинности математических теорем, а тем самым и непротиворечивости такой математики. Однако этот расчёт не оправдался, во-первых, потому, что вместо ясности интуиционистские понятия и теоремы оказались в большинстве случаев сложнее классических аналогов и тяжелее воспринимаемыми человеческой интуицией, чем последние. Во-вторых, надежда на очевидную непротиворечивость конструктивной математики не оправдалась: как показали дальнейшие исследования, к ней сводится непротиворечивость только классической математики. Кроме того, исключение из математики всех понятий, неподдающихся конструктивному определению, и, в частности, понятия актуальной бесконечности, привело к ликвидации важнейших достижений классической математики.
В своем развитии интуиционизм пошёл по пути формализма, ставшего базисом современной математики, и стал его частью.

Логицизм возник в конце XIX века в связи с построением математической логики. Его основатели - Г.Фреге и Б.Рассел надеялись всю математику "вывести" из логики. Для этого необходимо было определить основные математические понятия в рамках чистой логики, и тогда все математические теоремы будут получаться как логические следствия. Фреге, как ему казалось, определил, таким образом, натуральные числа, к которым сводятся многие математические понятия, и построил для них арифметику. Б.Рассел, хотя и обнаружил в этой арифметике противоречие, однако продолжил попытку реализовать идею логицизма.
После неудачи всех попыток реализации идеи логицизма интерес к ней исчез. Фактически в основе логицизма лежит слишком широкое понимание логики. Тот факт, что в языке логики предикатов выразимы при определённой интерпретации многие математические понятия, ещё не означает, что эти понятия со всеми своими свойствами принадлежат логике. Согласно общепринятому определению логики, сформулированному ещё Лейбницем, с которым Рассел - один из главных творцов логицизма - был согласен, логика - это то, что истинно везде. Совершенно ясно, что математические истины таким свойством не обладают, ведь существуют противоречащие друг другу теории. Такое понимание логики не позволяет включать в неё конкретные отношения, даже если они определяются логическими средствами. Однако логицисты считали логическим всё то, что им удалось выразить в языке логики предикатов. Вот мнение Д.Гильберта о таком подходе: "Математика, как и любая другая наука, не может быть основана только на логике; наоборот, в качестве предварительного условия для применения логических умозаключений и приведения в действие логических операций нам в нашем представлении уже должно быть дано нечто, а именно - определённые внелогические конкретные объекты, которые существуют наглядно, в качестве непосредственных переживаний до какого бы то ни было мышления."
Поскольку позиции логицистов не были очерчены достаточно чётко, то варианты логицизма обсуждаются до последнего времени.

Формализм (или формальное направление в математике) представляет собой развитие древней идеи полной аксиоматизации математики, в модернизированном виде изложенную в так называемой "программе Гильберта". Несмотря на то, что, на поверхностный взгляд программа Гильберта была опровергнута результатами Гёделя, она фактически (с некоторыми поправками) стала главным подходом к основаниям математики. Гильберт был первым математиком, который провозгласил законность любой математической теории, для которой доказана её непротиворечивость, невзирая на возможность её содержательной интерпретации.

В наше время именно эта точка зрения торжествует. Математикам с такими позициями просто нет необходимости обращать внимание на реальный мир.

Современная формальная математика, имеет свой язык, разделенный на синтаксическую и семантическую части. Свою систему понимания истинности. Свою систему доказательств и понимания непротиворечивости.
Система понятий и утверждений (предложений, теорем, формул) математики не есть фрагменты реального мира, это элементы только самой математики. Поэтому математика является, прежде всего, наукой, замкнутой в самой себе.

В современной математике существуют два понятия следствия из посылок. Одно из этих понятий, логическое, совпадает с понятием логической выводимости (доказуемости) предложения А из посылок Г, что обозначается обычно так: Г |- А. Второе понятие, семантическое, связано с моделями множества Г и состоит в следующем. Предложение А является семантическим следствием множества предложений Г, если оно истинно в любой модели множества Г, что обозначается так: Г |= А. Поскольку логический вывод сохраняет истинность во всех интерпретациях, то ясно, что Г |- А влечёт Г |= А. Обратное далеко не столь очевидно, но оно следует из теоремы Гёделя о полноте. Таким образом, эти понятия оказываются равносильными, и следовательно, если Г - это система аксиом теории, то выводимость (доказуемость) формулы А из Г равносильна её семантической истинности в этой теории.
Теорема Гёделя о полноте утверждает, что всякое непротиворечивое множество формул (в языке предикатов первой ступени) имеет модель. Отсюда следует, что для любой замкнутой формулы А, если Г |= А, то Г |- А. Действительно, предположим, что u (Г |- А). Можно доказать, что тогда множество Г, u А - непротиворечиво и потому по теореме Гёделя оно имеет модель, в которой формула u А истинна, а это противоречит тому, что Г |= А. Поэтому u (Г |= А), откуда по правилу контрапозиции, если Г |= А, то Г |- А. Отсюда же следует и семантическая полнота исчисления предикатов первой ступени.

Все доказательства предложений любой математической теории можно разделить на два вида. К первому виду относятся такие доказательства, которые касаются только синтаксическими свойствами теории без ссылок на какую-либо интерпретацию. Таковыми, например, являются все формальные доказательства в формальных теориях, которые фактически являются выводами слов в языке теории из аксиом строго по логическим правилам. Это синтаксические доказательства. Второй вид - это семантические доказательства, апеллирующие к каким-либо интерпретациям языка теории.

Доказательства второго вида содержат апелляцию к семантике, которая, как правило, не является аксиоматической теорией и не всегда может быть аксиоматизирована (как это имеет место для содержательной арифметики). Поэтому посылки таких доказательств черпаются из заранее не определённого множества содержательных предложений такой теории. Хотя для всякого семантического доказательства можно получить синтаксический аналог, если формализовать соответствующую содержательную теорию, однако последнее не всегда возможно по разным причинам. Тем не менее, для каждого семантического доказательства существует возможность получить синтаксический эквивалент путём аксиоматизации не всей теории, а только её фрагмента, содержащего посылки доказательства. Такую возможность даёт теорема компактности, из которой следует, что для всякой теоремы А какой-либо теории Т существует конечно, аксиоматизируемый фрагмент Т1 этой теории, в котором доказуема теорема А. Это утверждение верно как для формальных так и для неформальных теорий. Мы будем называть его принципом локальной формализации. Этот принцип имеет очень важное следствие: при оценке какого-либо семантического (содержательного) доказательства в неформальной теории можно выделить, конечно, аксиоматизированный фрагмент теории, содержащий синтаксический эквивалент этого доказательства. Этот процесс вполне эффективен (финитен). Таким образом, принцип локальной формализации позволяет оценку правильности семантического доказательства сводить к оценке синтаксического доказательства, безотносительно к непротиворечивости всей теории.

Непротиворечивость теорий может быть показана путем расширения логических средств доказательства дополнительными правилами. Другая возможность - доказательство непротиворечивости теории путем построения математической модели. Но такое доказательство будет убедительным, если непротиворечива сама модель, и отображение теории в модель будет конструктивно (финитно). Поскольку моделью как правило является содержательная математическая теория, то может показаться, что мы попадаем в безвыходную ситуацию: чтобы доказать непротиворечивость теории, нужно построить какую-либо её модель, которая в свою очередь принадлежит теории, непротиворечивость которой также должна быть доказана.

Правильность формальных доказательств, основана на непротиворечивости формальной математической логики, что также требует доказательства.

Вопрос о непротиворечивости теорий несравненно более трудный, чем вопрос о доказательствах. Для формальных теорий он несколько облегчается чёткостью постановки и существованием различных подходов, например, таких, как использованные для доказательства непротиворечивости арифметики. Если теория не формальная, то не всегда удаётся найти прямое доказательство её непротиворечивости. В этом случае приходится апеллировать к непротиворечивости какой-либо её модели, в которой истинны все аксиомы теории или, по крайней мере, посылки рассматриваемого доказательства. Как правило, удаётся построить содержательно более простую модель, чем исходная теория, и таким образом упростить задачу.

Для математиков уверенность в непротиворечивости содержательно построенных математических теорий создаётся из мнения, что исходные понятия, лежащие в основе любой математической теории, имеют объективный характер а не являются только произвольным плодом свободной человеческой фантазии. Но, вообще, любую математическую теорию, путём введения новых понятий или чрезмерного расширения объёма её понятий легко можно сделать противоречивой.
Попробовать оградить от противоречий такую универсальную теорию, как теория множеств, можно только путём её формализации. При этом получить единую формализацию, удовлетворяющую всевозможные потребности различных направлений математики, невозможно.
Вопрос о непротиворечивости математики в целом не имеет смысла, хоть в ней и могут существовать внутренне непротиворечивые теории, объединение которых противоречиво.
Можно говорить только о непротиворечивости отдельных теорий.

Значительная часть математики используется для решения задач, возникающих при изучении реального мира, иногда находя решение проблем, а иногда внося свои проблемы не только в решения каких-то задач, но и в понимании реального мира.
Тут надо заметить, что проблемы в понимании мира возникают не у всех математиков, а только у тех, кто не понимает, что математический язык пригоден для описания чего угодно, в том числе виртуальных миров, несовместимых с "реальным".

Говорить о соответствии математического языка именно реальному миру необоснованно.

Разрыв между реальностью и математическими теориями, выраженными некими формулами, не был бы проблемой, если бы игра формулами оставалось хобби для людей со странным мышлением, а математика была бы вспомогательной наукой для обсчитывания реальных физических процессов. Но продукция мышления именно тех странных математиков, которые играют формально доказанными формулами, принимаемыми ими как откровения, пришедшие из того мира, который задуман его "творцом" на основе "созданных им законов", зачем-то активно вносилась и вносится в физику.
И это явно проявилось в "Стандартных Моделях" как бы строения как бы "микромира" и как бы "макромира"...

Buy Y.I.Yanov